Джозеф Алесси был назначен ведущим тромбонистом Нью-Йоркского филармонического оркестра весной 1985 года. Начал учиться музыке в Калифорнии, где посещал музыкальную школу в г.Сан Рафаэле (Калифорния), а также являлся солистом Симфонического оркестра Сан-Франциско. Первым педагогом стал его отец Джозеф Алесси Старший. Затем продолжил свое музыкальное образование в Музыкальном институте Кёртис в Филадельфии. Перед началом работы в филармоническом оркестре четыре сезона он проработал вторым тромбонистом в Филадельфийском оркестре и один сезон ведущим тромбонистом Монреальского симфонического оркестра. Помимо этого, молодой музыкант выступал в качестве приглашенного тромбониста с Лондонским симфоническим оркестром в Карнеги-холле под управлением дирижера Пьера Булеза.
Алесси в настоящее время преподает в Джульярдской школе на кафедре М.и Г. Хартов. Его ученики выступают в составе известных зарубежных и американских симфонических оркестров. Являясь руководителем семинаров, организуемых компанией «Edwards Instrument Co», проводил мастер-классы по всему миру, включая Европу в рамках европейского турне в качестве педагога и исполнителя. Также выступал с ведущими симфоническими оркестрами, как например, с оркестром Военной академии США «West Point», оркестром армии США («Pershing's Own»), оркестром морской пехоты США («President's Own»).
Джозеф Алесси является активным солирующим исполнителем, а также участником оркестров и исполнителем камерной музыки. В апреле 1990 года состоялся его сольный дебют в составе Нью-Йоркского филармонического оркестра, когда он исполнил Фантазию для тромбона П.Крестона. В 1992 году на праздновании 150-летия Филармонического оркестра впервые исполнил концерт для тромбона, написанный Кристофером Роузом, и удостоенный впоследствии Пулитцеровской премии. Одним из его последних сольных выступлений с Нью-Йоркским филармоническим оркестром была мировая премьера концерта для тромбона Мелинды Вагнер в феврале 2007 года.
Алесси выступал приглашенным тромбонистом в составе Линкольнского симфонического оркестра, Национального репертуарного оркестра, симфонического оркестра Колорадо, симфонического оркестра Сиракьюса, симфонического оркестра Вирджинии, симфонического оркестра Алабамы, симфонического оркестра Санта Барбары, симфонического оркестра Южной Дакоты, Нового Японского филармонического оркестра, Сеульского филармонического оркестра, оркестра театра Масиммо Беллини в Катании (Сицилия), оркестра Мангеймского Национального театра, Национального симфонического оркестра Тайваня, Пуэрториканского симфонического оркестра, Гаагского филармонического оркестра, филармонического оркестра Хельсинки и Хартфордского симфонического оркестра.
Джозеф Алесси также принимал участие в многочисленных фестивалях, включая фестиваль камерной музыки в Протогруаро (Италия); музыкальный фестиваль Cabrillo; швейцарскую неделю исполнителей на медных духовых инструментах, неделю исполнителей на медных духовых инструментах в Лиексе (Финляндия). Он также принимал участие в Международном фестивале тромбонистов в Фельдкирхе (Австрия) в 1997 году, и выступал на Международной встрече исполнителей на медных духовых инструментах в Лиле (Франция).
Джозеф Алесси является учредителем ансамбля медных духовых инструментов Summit Brass при Институте медных духовых инструментов Рафаэля Мендезы в г.Темпе, Аризона. В 2002 году он получил специальную премию Международной Ассоциации Тромбонистов за вклад в мировую музыку и за виртуозную технику игры на тромбоне.
Дискография Джозефа Алесси насчитывает довольно большое количество альбомов, записанных на студии звукозаписи Summit, включая последний альбом Trombonastics и Fandango, записанный совместно с ведущим трубачом Нью-Йоркского филармонического оркестра - Филиппом Смитом. Также записал альбом New York Legends на студии звукозаписи Cala. Запись трансляции концерта Роуза совместно с Нью-Йоркским филармоническим оркестром можно услышать на втором диске последнего выпуска An American Celebration, а также на дисках специальных изданий Нью-Йоркского филармонического оркестра, записанных в студии оркестра. В 2007 году планируется выпуск новых альбомов - Return to Sorrento, студии звукозаписи Naxos, и два альбома Джозефа Алесси совместно с духовым оркестром государственного университета Колумбуса и оркестром медных духовых инструментов Imperial Brass в записи студии Summit. Кроме того, дирижер и композитор Брамуэлл Тови недавно записал написанную специально для Алесси композицию под названием Urban Cabaret с Алесси в качестве солирующего тромбонитста.
Международная Ассоциация Тромбонистов пригласила Джозефа Алесси записать сольный альбом современных музыкальных произведений, который в начале 1999 года был распространен среди 5000 подписчиков-членов Ассоциации, а в настоящее время можно приобрести под названием Beyond the End of the Century в записи студии Summit. Один из последних компакт-дисков Алесси, где он исполняет Star Child Джорджа Крама в записи студии Bridge, получил премию «Грэмми» в 1999-2000 гг. Также имеются записи Джозефа Алесси совместно с Канадским оркестром медных духовых инструментов студии Sony Classical и Philips.
