Родился в 1961 году в Одессе. В 1985 году окончил Московскую государственную консерваторию им. П.И. Чайковского (класс профессора Бориса Беленького), в 1988 году – аспирантуру консерватории (класс Народного артиста СССР, профессора Валерия Климова).
Победитель международных конкурсов им. И.С. Баха в Лейпциге (Германия, 1984), им. К. Нильсена в Оденсе (Дания, 1988), им. В. Беллини в Кальтанисетта (Италия, 1995).
С 1988 года Алексей Кошванец преподаёт в Московской консерватории. В 2009 году в звании профессора возглавил кафедру скрипки и альта Российской академии музыки имени Гнесиных.
Концертирует с 23 лет, выступал с оркестрами «Гевандхауз», «Оденс-симфони», оркестром Дрезденской государственной капеллы, оркестром Ганноверского радио, Японским оркестром радио и телевидения NHK, Государственным академическим симфоническим оркестром России им. Е.Ф. Светланова, Российским государственным симфоническим оркестром кинематографии, Украинским национальным оркестром, Берлинским симфоническим оркестром и многими другими. Работал с такими дирижёрами, как Валерий Гергиев, Томас Зандерлинг, Павел Коган, Сергей Скрипка, Эдуард Серов, Отмар Мага, Вероника Дударова, Дмитрий Лисс, Виктор Здоренко, Йорма Панула, Владимир Понькин.
Гастролирует по России, Европе, Японии, Южной Корее. Постоянно участвует в работе жюри международных и региональных конкурсов. Регулярно проводит мастер-классы в России и за рубежом.
Совместно с Дмитрием Эльяшевым и Сергеем Григорьевым является автором нового класса компьютерных игр «MUSIC PUZZLE». Эта запатентованная обучающая музыкальная программа при поддержке и активном участии Учебно-методического центра РФ и Министерства Культуры РФ была внедрена во многих музыкальных школах России и прошла успешную апробацию, получив высокую оценку учеников и педагогов.
